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Sequência didática |
Iniciaremos esta sequência didática estudando os conceitos que envolvem as figuras semelhantes e, a partir daí investigar um caso particular: a semelhança de triângulos. Com esses conceitos formalizados estaremos aptos a deduzir as relações métricas no triângulo retângulo, inclusive o teorema de Pitágoras.
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Objetos de conhecimento |
Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração. Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais. Distância entre pontos no plano cartesiano. |
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Competências específicas |
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. |
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Habilidades |
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano. |
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Objetivos de aprendizagem |
Reconhecer triângulos semelhantes. Identificar as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes. Aplicar a semelhança de triângulos para estabelecer as relações métricas no triângulo retângulo. Determinar a distância entre dois pontos a partir de suas coordenadas. |
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Conteúdos |
Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo. Distância entre pontos. |
Imagens de figuras semelhantes.
Papel quadriculado.
Quantidade de aulas: 4.
Iniciar a aula conversando com os alunos sobre situações em que a ideia de semelhança esteja presente, como na construção de miniaturas de ícones de um local (utilizadas como lembrança), na ampliação ou redução de fotografias, em escalas de mapas etc.
Explicar o que significa semelhança em Matemática e sobre a necessidade de, para dizer que duas figuras são semelhantes, os ângulos correspondentes serem congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Em seguida, propor aos alunos que realizem algumas atividades no caderno, ou em papel quadriculado, envolvendo conceitos de semelhança. Veja alguns exemplos a seguir:
1. Represente, no papel quadriculado, uma figura semelhante à figura a seguir.
Elaborado pelo autor.
Agora, responda:
a) Considerando a figura original e a que você representou, nessa ordem, qual a razão entre as medidas de um dos lados correspondentes?
Resposta pessoal, depende da figura desenhada pelo aluno.
b) Qual a razão entre o perímetro das figuras, mantendo a mesma ordem do item anterior?
Resposta pessoal. Espera-se que o aluno responda o mesmo valor numérico da razão do item a.
c) Qual a razão entre as áreas das figuras, considerando a mesma ordem?
Resposta pessoal, depende da figura desenhada pelo aluno.
d) Figuras semelhantes têm obrigatoriamente a mesma área?
Em geral, figuras semelhantes não possuem a mesma área. As áreas serão iguais somente caso as figuras sejam congruentes.
e) Figuras semelhantes podem ter o mesmo perímetro?
Em geral, figuras semelhantes não possuem o mesmo perímetro. As áreas serão iguais somente caso as figuras sejam congruentes.
2. Observe as medidas indicadas e responda às questões a seguir:
Elaborado pelo autor.
a) Assinale os retângulos semelhantes.
Elaborado pelo autor.
b) Observe dois retângulos semelhantes e estabeleça uma ordem. Qual a razão entre as medidas do comprimento do retângulo? E a razão entre as medidas das alturas do retângulo? E entre os perímetros?
A resposta depende dos retângulos escolhidos.
Por exemplo: ao escolher os dois retângulos de maior área, a razão entre os lados menores é
e entre os lados maiores . A razão entre os perímetros é . Independente dos retângulos escolhidos, as razões encontradas entre os lados correspondentes devem ser iguais, inclusive para o perímetro.
c) Considere dois retângulos não semelhantes quaisquer. Qual é a razão entre as medidas dos lados maiores? E entre as medidas dos lados menores? E entre os perímetros?
A resposta depende dos retângulos escolhidos. Diferentemente da atividade do item anterior, espera-se que os alunos observem que a razão entre as medidas dos lados maiores é diferente da razão entre as medidas dos lados menores e, consequentemente, diferente da razão entre os perímetros.
Iniciar a aula retomando a definição de polígonos semelhantes. Explicar que, nessa aula, eles irão identificar triângulos semelhantes.
Para isso, desenhar na lousa dois contornos de triângulos semelhantes e retomar o conceito de lados correspondentes, escrevendo a razão entre eles. Destacar também os ângulos correspondentes que devem ser congruentes.
Elaborado pelo autor.
Exemplo de contorno de triângulos semelhantes.
Registrar no caderno as razões entre as medidas dos lados correspondentes:
Em seguida, perguntar aos alunos: Suponha que você não saiba a medida de um dos ângulos desses triângulos, ainda assim seria possível afirmar que os triângulos são semelhantes?
Para exemplificar, representar o contorno de dois triângulos indicando que dois ângulos correspondentes são congruentes.
Elaborado pelo autor.
Exemplo de triângulos semelhantes.
Permitir aos alunos que discutam e argumentem até concluírem que é possível verificar que os triângulos são congruentes, pois a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Assim, explicar que, para verificar a semelhança entre triângulos, basta identificar a congruência entre dois pares de ângulos correspondentes.
Destacar que, na figura anterior, não há indicadas as medidas de nenhum lado dos triângulos, mas, ainda assim, é possível garantir que esses triângulos sejam semelhantes porque há dois pares de ângulos correspondentes congruentes: .
Após isso, representar na lousa o contorno de dois triângulos semelhantes, de modo que um deles esteja contido no outro e que tenham um vértice em comum, como indicado na figura a seguir. Pedir aos alunos que analisem os triângulos. Em seguida, pedir que representem os triângulos separados um do outro.
Elaborado pelo autor.
Exemplo de contorno de triângulos semelhantes.
Permitir aos alunos que analisem as imagens e retomem a definição, pensando como fazer para determinar a medida dos seis elementos (dos lados e dos ângulos correspondentes).
Após os alunos observarem as figuras, solicitar que comentem o que pensaram. Espera-se que os alunos observem que . Assim, explicar que é possível concluir que os dois triângulos possuem ângulos correspondentes congruentes.
Orientar os alunos a aplicar o teorema de Tales e comprovar que os triângulos PQR e LMN são semelhantes. Comentar que nem sempre é possível verificar as medidas de todos os lados e ângulos e explicar que existem casos de semelhança de triângulos que permitem fazer a verificação com apenas algumas informações. Registrar na lousa e comentar sobre os casos de semelhança (caso ângulo-ângulo ou "AA"; caso lado-ângulo-lado ou "LAL"; caso lado-lado-lado ou "LLL").
Apresentar aos alunos alguns pares de triângulos semelhantes, como os exemplos a seguir, para que possam observar as informações e, em seguida, pedir que identifiquem o caso que garante a semelhança dos triângulos representados.
Elaborado pelo autor.
Triângulos semelhantes pelo caso ângulo-ângulo.
Elaborado pelo autor.
Triângulos semelhantes pelo caso lado-ângulo-lado.
Elaborado pelo autor.
Se necessário, explicar que, nesse último caso, pode-se decompor o triângulo maior em outros dois menores como a seguir:
Elaborado pelo autor.
Triângulos semelhantes pelo caso AA. Como a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é igual a 180°, podemos garantir que, no triângulo retângulo acima, os ângulos agudos correspondentes são congruentes.
Nesse momento é possível solicitar aos alunos que façam uma argumentação oral, pois isso auxilia no processo de avaliação e retomada dos conteúdos, uma vez os alunos serão convidados a analisar as figuras e deverão aplicar os conceitos estudados até o momento.
Antes de iniciar a atividade, certifique-se de que os alunos compreenderam o conceito de semelhança e os casos de semelhança de triângulos, identificando os elementos correspondentes e verificando se os triângulos são semelhantes. Iniciar a aula apresentando um triângulo retângulo ABC, retângulo em  e altura relativa à hipotenusa AH.
Elaborado pelo autor.
Nomear os vértices para facilitar a identificação dos lados correspondentes e desenhar os triângulos separados conforme a figura a seguir.
Elaborado pelo autor.
Explicar aos alunos que m e n são as projeções ortogonais que os catetos determinam sobre a hipotenusa.
Demostrar que existem algumas relações importantes e que são válidas nos triângulos retângulos. Para tanto, pedir que comparem os triângulos ABC e HAC. A partir dessa comparação, é possível estabelecer a relação:
Da mesma forma, ao comparar os triângulos ABC e AHB temos:
Comparando os triângulos AHC e AHB, temos:
Também é válida a igualdade:
Destacar a relação que se obtém a partir das relações: e .
Mostrar aos alunos que, adicionando membro a membro as relações acima, tem-se que:
b² + c² = a ∙ m + a ∙ n ⇒ b² + c² = a(m + n) ⇒ b² + c² = a²
Retome com os alunos que a é a medida da hipotenusa; b e c são as medidas dos catetos e enuncie o teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos.
Apresentar alguns triângulos retângulos aos alunos para que possam praticar essas relações.
1. Determine as medidas desconhecidas.
a)
4 cm.
b)
13 cm
c)
cm
d)
Elaborado pelo autor.
6 cm
2. Em um triângulo retângulo as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa medem 3,6 cm e 6,4 cm. Qual a medida da altura relativa à hipotenusa?
4,8 cm
Iniciar a aula retomando o teorema de Pitágoras e suas relações métricas, questionando como podemos obtê-las sem a necessidade de memorização de fórmulas.
Em seguida, mostrar que o teorema de Pitágoras pode ser aplicado a triângulos no plano cartesiano, e uma aplicação bastante importante é o cálculo da distância entre dois pontos. Para isso, precisamos apenas das coordenadas dos pontos. Essa aplicação pode ser estendida para o cálculo do perímetro de polígonos côncavos e convexos.
Como exemplo, apresentar aos alunos na lousa o cálculo da distância entre os pontos A (1, 4) e B (6, 2) no plano cartesiano, utilizando o conceito de projeção ortogonal e o teorema de Pitágoras. O valor esperado para AB é .
Elaborado pelo autor.
Ao observar a imagem, podemos perceber que os segmentos pontilhados, junto ao segmento AB, formam um triângulo. Como essas projeções são ortogonais, pode-se admitir que esse triângulo é retângulo, sendo o segmento AB a hipotenusa.
Considerando o ponto O como a intersecção entre as projeções do ponto A e B, obtém-se o contorno do triângulo AOB, retângulo em O. Assim, os segmentos AO e OB são os catetos desse triângulo.
Elaborado pelo autor.
Explicar aos alunos que, ao observar as projeções nos eixos coordenados, pode-se encontrar a medida de cada cateto; assim, o cateto AO mede 2 unidades de medida de comprimento (u.c.) e o cateto OB, 5 u.c. Questionar como poderiam determinar a medida da hipotenusa conduzindo a perceber que, para isso, basta aplicar o teorema de Pitágoras.
AB² = AO² + OB²
AB² = 2² + 5² = 29
Após a discução do exemplo, propor algumas atividades aos alunos, organizados em pequenos grupos, envolvendo o teorema de Pitágoras e o cálculo de distâncias entre dois pontos no plano cartesiano. Ao finalizarem a atividade, propor um debate sobre as estratégias utilizadas na resolução, certificando-se de que aplicaram corretamente o teorema de Pitágoras. As atividades devem ser feitas no caderno.
1. Utilize uma folha de papel quadriculado para representar um plano cartesiano e os pontos A (2, 4) e B (5, 0). Depois, determine a distância entre esses pontos.
Elaborado pelo autor.
5 u.c.
2. Se os pontos A (2,0), B (0, 3), C (–2, 0) e D (0, –3) são vértices de um polígono ABCD, qual é o perímetro desse polígono?
4 u.
3. Determine a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede:
a) 5 cm
5 cm
b) 4 cm
cm
c) 3,5 cm
cm
d) Agora, analisando os resultados obtidos, o que você pode afirmar sobre a medida da diagonal de um quadrado?
A medida da diagonal de um quadrado equivale ao produto entre a medida do lado e , ou seja, considerando que é a medida do lado do quadrado, então a diagonal, , será:
Caso algum aluno apresente dificuldade no reconhecimento de polígonos semelhantes, retomar a definição discutindo passo a passo o conceito de congruência e proporcionalidade. Apresentar diferentes figuras para que o aluno possa identificar os lados e os ângulos correspondentes e verificar se são, ou não, congruentes.
Ao identificar as dúvidas referentes aos triângulos semelhantes, certifique-se de que o conceito foi compreendido. Apresentar alguns triângulos e solicitar aos alunos que identifiquem os lados correspondentes e os ângulos congruentes. Na sequência, apresentar os casos de congruência que possibilitam identificar triângulos semelhantes, mesmo que nem todas as medidas sejam conhecidas.
Ao identificar qualquer dificuldade na aplicação das relações métricas no triângulo retângulo, verificar se o aluno compreendeu que é possível aplicar o conceito de semelhança para determinar as medidas desconhecidas.
Caso apresentem dificuldade em aplicar o teorema de Pitágoras, retomar o conceito de cateto e hipotenusa e então reapresentar o teorema, apresentar alguns exemplos e solicitar aos alunos que determinem algumas medidas desconhecidas utilizando o resultado desse teorema.
Algumas questões podem ser propostas aos alunos para avaliar a compreensão dos conceitos estudados. Veja alguns exemplos apresentados a seguir:
1. Em um triângulo retângulo, um cateto mede 10 cm enquanto a medida de sua projeção sobre a hipotenusa mede 5 cm. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo?
20 cm
2. Os lados de um losango medem 7 cm e a diagonal maior mede 10 cm. Quanto mede a diagonal menor?
cm
Considerando o teorema de Pitágoras, o termo a² pode ser interpretado como a área de um quadrado de lado a. Analogamente, b² é a área de um quadrado de lado b e c², a área de um quadrado de
lado c. O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja,
a² = b² + c².
Na figura a seguir, foram representados contornos de quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, ou seja, quadrados de área a², b² e c². Propor aos alunos que pintem a região interna desses contornos. Depois, solicitar que recortem os quadrados menores e, em seguida, recortem sobre as linhas tracejadas e, por sobreposição, verifiquem que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores.
Elaborado pelo autor.